Sistemas Lineares

Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

Precisão dos resultados e seu Refinamento

Imaginemos um grande sistema de equações lineares, desses sistemas que acontecem nos problemas práticos, com centenas, milhares, dezenas de milhares de equações.

Ao fazer-se a triangularização, muitos milhares de contas estão sendo feitas e, em decorrência, muitas aproximações com a conseqüente propagação dos erros.

Ao se chegar ao final dos cálculos, determinados os valores das variáveis, é de se supor que, face às aproximações ocorridas, ao serem aplicadas no sistema original A . X, dificilmente levarão ao valor original do vetor B, sendo muito mais provável que cheguemos a valores até mesmo próximos de B, mas com desvios, em decorrência dos erros e suas propagações.

Vamos chamar de X⁽¹⁾ ao vetor de soluções obtido ao ser resolvido o sistema por um dos métodos de eliminação.

A . X⁽¹⁾ = B⁽¹⁾ , onde o vetor B⁽¹⁾ é uma aproximação do vetor B, pois X⁽¹⁾ é uma aproximação do que seria o resultado exato X.

O erro de X⁽¹⁾ leva ao erro no cálculo de B.

Seja E vetor erro de X, onde

E = (e₁ , e₂ , ....., e_n)^T , onde T indica a transposta por se tratar de um vetor coluna n por 1.

e₁ = x₁⁽¹⁾ – x₁

e₂ = x₂⁽¹⁾ – x₂

....................

e_n = x_n⁽¹⁾ - x_n

Aplicando-se a matriz A aos dois lados tem-se:

A . E = A . X⁽¹⁾ – A . X , sendo que A . X = B , dado da questão.

Assim aplica-se a matriz A ao resultado encontrado, vetor X⁽¹⁾ , subtrai-se o vetor B dado e encontra-se o vetor desvio D, que nos vai permitir estimar os erros ocorridos.

A . E = D , onde d_i = S a_ij x_j⁽¹⁾ – b_i

onde d e b representam os componentes dos vetores D e B.

A resolução do sistema A . E = D nos permite estimar os erros e_i = x_i⁽¹⁾ – x_i e com eles melhorar o cálculo dos valores dos componentes do vetor X.

x_i = x_i⁽¹⁾ - e_i

Esse passa a ser um valor melhorado dos x_i‘s calculados anteriormente.

Esse processo iterativo pode ser repetido, buscando-se uma melhor aproximação do valor de X.

Claro está que se o resultado encontrado X⁽¹⁾ for exato, ao se calcular A.X⁽¹⁾ ele já dará o valor exato de B e o erro será zero.

A esse processo iterativo chama-se Refinamento do Método de Eliminação de Gauss.

Se mudássemos o valor do vetor B, tão comum nos problemas práticos, bastaria resolver os dois sistemas triangulares, pois a matriz A já está fatorada em L . U.

Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br