Curso de Cálculo NuméricoProfessor Raymundo de Oliveira |
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| Provas | Professor | Links | Gabarito dos Exercícios dos Capítulos I e II1) Converter para decimal os seguintes números binários:
2) Converter para binário os seguintes números decimais: a) 23; b) 2615; c) 2,5; d) 0,1; e) 3,8; f) 10,05
3) Um computador armazena números reais utilizando 1 bit para o sinal do número, 7 bits para o expoente e 8 bits para a mantissa. Admitindo que haja arredondamento, como ficariam armazenados os seguintes números decimais? a) 265; b) 12,5; c) -445,25; d) -0,1; e) -12,8; f) 2500,05 Os sete bits do expoente variarão de 00000001 até 11111110, isto é, de 1 até 126. Como precisamos representar expoentes negativos, vamos considerar que 63 representa 0 (zero), fazendo um deslocamento no conjunto dos números a serem representados. Assim, o expoente a ser representado deverá ser somado a 63 , para obter-se o valor a ser escrito nos sete bits reservados para o expoente. Dessa forma, quando se escrever 0000001, estaremos representando – 62 , pois –62 + 63 vale 1 (0000001). Para representar o expoente 0 (zero), deve-se escrever 63 (0111111) , pois 0+63 = 63 . Para representar –1 escreve-se 62 (-1+63 = 62); para ter-se o expoente +1 , representa-se 64 (1+63 = 64). O maior expoente será, portanto, 126 – 63 = 63 . Dessa forma os expoentes, na forma normalizada, variarão de –62 a + 63. Lembramos que o expoente 0000000 será utilizado para o "underflow" gradual, forma não normalizada, permitindo obter valores mais próximos a zero que os da forma normalizada. Nesse caso, o expoente passa a valer –62 e a mantissa deixa de estar normalizada, passando a ser: 0, _ _ _ _ _ _ _ _. Os números, na forma normalizada, terão 8 casas após a vírgula. a) 265 .... 100001001 .... 1,00001001 x 2(8) 8 + 63 = 71 ...(em sete bits) ... 1000111
b) 12,5 .... 1100,1 .... 1,10010000 x 2(3) 3 + 63 = 66 ... 1000010
c) –445,25 .... –110111101,01 ....-1,1011110101 x 2(8) 8 + 63 = 71 ... 1000111
d) –0,1 .... –0,000110011001100...(dízima periódica)...-1,10011010 x 2(-4) -4 + 63 = 59 ... 0111011
e) –12,8 .... –1100,11001100...(dízima periódica)... –1,10011001 x 2(3) 3+63 = 66 ... 1000010
f) 2500,05 ... 100111000100,000011001100...(dízima periódica)...
11+63 = 74 ... 1001010
4) Qual o valor verdadeiramente representado em cada caso acima ? a) 265 (exato) b) 12,5 (exato) c) –445,25 (-445) d) –0,1 ( -0,000110011010 = -( 2(-4) + 2(-5) + 2(-8) + 2(-9) + 2(-11) ) = -0,10009765625 ) e) –12,8 ( -1100,11010 = -12,8125) f) 2500,05 (1,00111001 x 2(11) = 100111001000 = 2504) 5) Qual o maior e o menor número positivo nele representável ? Maior número positivo: 0111111011111111 M = 1,11111111 x 2(63) = (2-2(-8)) x 2(63) = 65408 Menor número positivo:
6) Qual o menor número maior que 100 , nele representável ? 100 = 1100100 = 1,10010000 x 2(6) O próximo número será: 1,10010001 x 2(6) = 1100100,01 = 100,25 7) Qual o maior número menor que 20 , nele representável ?
8) Quais os erros absoluto e relativo ao se tentar nele representar os números: m = 25,5 ; n = 120,25 ; p = 2,5 ; a = 460,25 ; b = 24,005 ? O erro relativo de qualquer número, ao ser representado, será inferior a 2(-8) » 4 x 10(-3) , onde 8 é o número de bits da mantissa. m = 25,5 = 11001,1 = 1,10011000 x 2(4) ... exato n = 120,25 = 1111000,01 = 1,11100001 x 2(6) ... exato p = 2,5 = 10,1 = 1,01000000 x 2(1) ... exato a = 460,25 = 111001100,01 , representado por: 1,11001100 x 2(8) = 460 erro absoluto igual a 0,01 = 0,25 erro relativo igual a 0,25 / 460 » 5,5 x 10(-4) < 2(-8) » 4 x 10(-3) b = 24,005 = 11000,000000010100011110... , representada por 1,10000000 x 2(4) erro absoluto igual a 0,005 erro relativo igual a 0,005/24 » 2,1 x 10(-4) < 2(-8) » 4 x 10(-3) 9) Usando os valores acima, trabalhando em binário, qual o resultado das operações abaixo, bem como os erros absoluto e relativo ? m + n , m . p , n . p , a + b , a – b , a / n Obs: nas operações matemáticas, além da propagação dos erros que os operadores trazem, ao final de cada operação, pode ocorrer arredondamento, trazendo mais erros para o resultado. Isso precisa ser previsto. Calcularemos os resultados das operações e os erros relativos, podendo os erros absolutos serem estimados pela multiplicação dos erros relativos pelos resultados das operações. m + n m = 1,10011000 x 2(4) n = 1,11100001 x 2(6) para fazer a soma vamos desnormalizar o número com menor expoente, para que assuma o expoente do maior. m = 0,0110011000 x 2(6) n = 1,1110000100 x 2(6) somando-se obtem-se: m + n = 10,01000111 x 2(6) normalizando-se o resultado, haverá a perda de um bit, com o surgimento de mais uma causa de erro. m + n = 1,00100100 x 2(7) = 10010010,0 = 146 erro absoluto de 0,25 originado pelo bit abandonado erro relativo de 0,25 / 146 » 1,8 x 10(-3) < 2(-8) » 4 x 10(-3) Observe-se que as parcelas m e n , neste caso, não traziam erro; se trouxessem, haveria propagação desses erros, além do arredondamento já referido. m . p m = 1,10011000 x 2(4) p = 1,01000000 x 2(1) m . p = 1,11111110 x 2(5) = 63,75 (exato) neste caso nem há propagação de erros, inexistentes em m e p, nem há arredondamento do resultado. n . p n = 1,11100001 x 2(6) p = 1,01000000 x 2(1) n . p = 10,0101100101 x 2(7) , o resultado não está normalizado; é preciso normalizá-lo. n . p = 1,00101101 x 2(8) = 301, com arredondamento do resultado. O resultado exato é: 300,625 . erro absoluto de 0,375 erro relativo de 0,375 / 301 » 1,25 x 10(-3) < 2(-8) » 4 x 10(-3) a + b a = 1,11001100 x 2(8) , com erro relativo de 5,5 x 10(-4) b = 1,10000000 x 2(4) , com erro relativo de 2,1 x 10(-4) para fazer a soma, vamos desnormalizar o número com menor expoente, para que assuma o expoente do maior. a = 1,11001100 x 2(8) b = 0,00011000 x 2(8) a + b = 1,11100100 x 2(8) = 484 , sendo 484,255 o resultado exato. O erro relativo é, portanto, 0,255 / 484 » 5,3 x 10(-4) . Podemos estimar este erro pelos erros das parcelas. O erro relativo da soma é igual à soma dos erros relativos das parcelas, ponderados pela participação de cada parcela na soma. Sendo e o erro relativo, podemos afirmar: e (a+b) » e (a) .a/(a+b) + e (b).b/(a+b). No caso: e (a+b) » 5,5 x 10(-4) . 460/484 + 2,1 x 10(-4) . 24/484 = 5,3 x 10(-4) a – b a = 1,11001100 x 2(8) , com erro relativo de 5,5 x 10(-4) b = 1,10000000 x 2(4) , com erro relativo de 2,1 x 10(-4) para fazer a subtração, vamos desnormalizar o número com menor expoente, para que assuma o expoente do maior. a = 1,11001100 x 2(8) b = 0,00011000 x 2(8) a – b = 1,10110100 x 2(8) = 436 , sendo 436,245 o resultado exato. O erro relativo é, portanto, 0,245 / 436 » 5.6 x 10(-4) . Podemos estimar este erro pelos erros de a e b. O erro relativo da subtração é igual à soma dos erros relativos das partes, ponderados pela participação de cada parte na subtração. Sendo e o erro relativo, podemos afirmar: e (a-b) » e (a) .a/(a-b) + e (b).b/(a-b). No caso: e (a-b) » 5,5 x 10(-4) . 460/436 + 2,1 x 10(-4) . 24/436 = 5,9 x 10(-4) Insisto que, tanto na subtração como na soma, não se subtrai erros, erros são sempre somados por seus valores absolutos, admitindo-se sempre a pior hipótese, por segurança. Na previsão dos erros, erra-se sempre para mais, nunca para menos. a / n a = 1,11001100 x 2(8) , com erro relativo de 5,5 x 10(-4) n = 1,11100001 x 2(6) , valor exato a / n » 0,111101001 x 2(2) = 1,11101001 x 2(1) = 3,82031 , sendo 3,82744 o resultado, com cinco casas decimais. O erro relativo é, portanto, 0,00713/3,82 » 0,0019 . Neste exemplo, além da propagação do erro do componente a, há, ainda, o arredondamento da operação, com erro relativo de 4 x 10(-3) , conforma já citado. O erro obtido, 1,9 x 10(-3), é bem inferior ao erro máximo pelo arredondamento. 10) Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa, num total de 12 bits. Responda:
A gama de variação do expoente é de 00001 a 11110; isto é, de 1 a 30. Tomando 15 como representando o zero, 1 será -14 e 30 será mais 15. Nos cinco bits reservados para o expoente, representaremos o expoente desejado mais quinze. Assim, quando quisermos representar o expoente -14 escreveremos +1, quando desejarmos o expoente zero, representaremos +15, quando quisermos o expoente +15, representaremos +30.
Estou assumindo que se trata do menor número não normalizado, para podermos chegar ainda mais próximo a zero (underflow gradual). m = 0,000001 x 2(-14) = 2(-20) maior número positivo
M = 1,111111 x 2(15) = (2-2(-6)) x 2(15) = 65024 b- maior e > 0 , tal que 4,25 + e = 4,25 4,25 = 100,01 = 1,000100 x 2(2) e = 0,00000001111111 x 2(2) , para que, ao somar com 4,25= 1,00010001111111 x 2(2) , o resultado, ao ser arredondado para mantissa com seis bits depois da vírgula, mantenha o valor original de 4,25 , pois só altera a partir do oitavo bit a partir da vírgula. Logo e = 0,00000001111111 x 2(2) , que ao ser normalizado fica: e = 1,111111 x 2(-6) . Logo e = (2-2(-6)) x 2(-6) = 127/64/64 e = 0,031005859375 c) próximo número maior que 4,25 será: 1,000101 x 2(2) = 100,0101 = 4,3125 d) maior número menor que 80 80 = 1010000 = 1,010000 x 2(6) 1,001111 x 2(6) = 1001111 = 79 79 é o maior número menor que 80, nele representável e) calcular 0,8 x 5 0,8 = 0,110011001100... = 1,100110 x 2(-1) 5 = 101 = 1,010000 x 2(2) 0,8 x 5 = 1,1111111 x 2(1) » 10,000000 = 4,0 |
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