Curso de Cálculo Numérico
Professor Raymundo de Oliveira
4-1-1 Método da Eliminação de Gauss
Imaginemos um sistema de três equações a três incógnitas, que esteja, para sorte nossa, na forma triangular, isto é, a variável x1 só apareça na primeira equação, a variável x2 só apareça na primeira e na segunda, a variável x3 na primeira, segunda e terceira, e assim por diante, se houver um número maior de equações.
20 x1 + 8 x2 + 3 x3 = 41
10 x2 + 2 x3 = - 4
5 x3 = 15
A solução seria imediata, calculando-se de trás para a frente.
x3 = 3 x2 = -1 x1 = 2
A idéia central do Método da Eliminação de Gauss, é a de transformar em triangular um sistema que não o seja, permitindo, assim, sua solução.
Para tanto, o método contem duas fases:
- triangularização do sistema original, chamada de “forward”.
- resolução propriamente dita, da última variável para a primeira, chamada de “backward”.
Na primeira fase, é preciso eliminar a variável x1 da segunda, terceira, ... até a última equação, só ficando na primeira; em seguida elimina-se x2 da terceira, quarta, ... só ficando nas duas primeiras; elimina-se a variável x3 da quarta em diante, só ficando nas três primeiras etc...
Ao final dessa fase, o sistema estará triangularizado.
Na segunda fase resolve-se de trás para a frente, calculando-se a última, a penúltima,... até a primeira variável, a exemplo do que foi feito acima.
Seja o sistema
10 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 17
5 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 19
2 x1 + 3 x2 + 8 x3 = 0
Para eliminar x1 da segunda linha, basta multiplicar a primeira linha por 5/10 , isto é, por a21/a11 , o que torna o coeficiente de x1 na primeira linha igual ao de x1 na segunda linha. Em seguida basta subtrair a primeira linha modificada da segunda, o que zerará o coeficiente de x1, eliminando-o da segunda equação.
Repetir essa operação para a terceira linha, multiplicando a primeira por a31/a11 , antes de subtraí-la da terceira. O mesmo para a quarta linha, quinta linha etc...
Na enésima linha multiplica-se a primeira por an1/a11 e subtrai-se da enésima, eliminando-se, dessa linha, a variável x1.
O mesmo raciocínio é repetido para a variável x2 da terceira equação em diante, para a variável x3 da quarta em diante, até que a penúltima variável, xn-1 seja eliminada da última equação.
Nesse momento o sistema estará triangularizado.
A partir desse ponto começa a segunda fase, “backward”, quando se calcula, na última equação, a última variável, xn ; leva-se xn à penúltima equação e se calcula a penúltima variável, xn-1 ; leva-se xn e xn-1 à antepenúltima equação e se calcula a antepenúltima variável, xn-2 , etc... até ser calculada a primeira variável na primeira equação.
Sendo Li a linha i , a eliminação da variável xj dessa linha se dará pela operação:
Nova Li = Li – aij/ajj . Lj , variando-se j de 1 a n-1 e i de j+1 até n.
No sistema apresentado:
10 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 17
5 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 19
2 x1 + 3 x2 + 8 x3 = 0
L2 -> L2 – 5/10 L1
L2 -> 0 x1 + (8 - 2,5)x2 + (2 – 1,5)x3 = 19 – 8,5
L2 -> 0 x1 + 5,5 x2 + 0,5 x3 = 10,5
L3 -> 0 x1 + 2,0 x2 + 7,4 x3 = - 3,4
Repare que após eliminarmos x1 da segunda à última equação, esquecendo-se de L1, fica-se com um sistema de 2 equações a 2 incógnitas, isto é, diminuiu-se de 1 a ordem do sistema anterior; no caso passamos a ter um sistema de duas equações a duas incógnitas.
5,5 x2 + 0,5 x3 = 10,5
2,0 x2 + 7,4 x3 = -3,4
Para se eliminar x2 da terceira equação, trabalha-se da mesma maneira:
L3 -> L3 – 2,0/5,5 L2
L3 -> 0 x2 + (7,4 – 0,182)x3 = -3,4 – 3,818
7,218 x3 = -7,218
Tem-se agora um sistema de 1 equação a 1 incógnita.
O sistema completo fica sendo:
10 x1 + 5 x2 + 3 x3 = 17
0 x1 + 5,5 x2 + 0,5 x3 = 10,5
0 x1 + 0 x2 + 7,218 x3 = -7,218
O sistema está triangularizado e começa, nesse momento, a segunda fase.
x3 = -1,0
x2 = (10,5 – 0,5 .(- 1,0))/5,5 = 2,0
x1 = (17 – 5.2,0 – 3.(-1,0))/10 = 1,0
Solução: x1 = 1,0 x2 = 2,0 x3 = -1,0
Observações:
- Numa dada matriz, quando se subtrai de uma linha outra linha multiplicada por uma constante, o determinante da matriz não se altera. Como no processo de eliminação, o que se fez foi sempre subtrair de uma linha outra linha multiplicada por uma constante, conclui-se que ao ser triangularizada, a matriz original manteve constante o valor do determinante.
- O determinante de matriz triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. Dessa maneira, o determinante da matriz original, antes de ser triangularizada pelo método de Eliminação de Gauss, será dado pelo produto dos elementos da diagonal principal da matriz triangular resultante.
- No processo de eliminação da variável xj da linha i, faz-se a transformação Li – aij/ajj . Lj. No caso de ajj ser zero, deve-se renumerar as linhas para se conseguir ajj diferente de zero.
- Na verdade, o ideal seria conseguir uma linha j tal que, além de ter ajj diferente de zero, tivesse esse elemento com o maior módulo possível e os demais elementos da linha j o menor possível para que alterassem o mínimo a linha i, da expressão Li – aij/ajj . Lj . Dessa maneira diminuem os erros propagados de uma linha para outra no processo de eliminação. Levar em conta a escolha adequada da linha que será a linha j, para minimizar a propagação dos erros aumentando a precisão do método, é a chamada Condensação Pivotal.
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