Curso de Cálculo Numérico
Professor Raymundo de Oliveira
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5 - Interpolação Polinomial
Seja a tabela abaixo:
x0 |
x1 |
x2 |
... |
xi |
... |
xn |
y0 |
y1 |
y2 |
... |
yi |
... |
yn |
formada por n+1 pontos ( xi , yi ).
Trata-se de passar por esses n+1 pontos um polinômio de grau n.
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
Para tanto, calculam-se os n+1 coeficientes do polinômio P(x), isto é:
an, an-1, ..., a1, a0 , de modo que o polinômio passe pelos n+1 pontos tabelados.
Assim: P(x0 ) = y0 , P(x1 ) = y1 , ... , P(xn ) = yn .
P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0 n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0
P(x1 ) = an x1 n + an-1 x1 n-1 + … + a2 x1 2 + a1 x1 + a0 = y1
...
P(xi ) = an xi n + an-1 xi n-1 + … + a2 xi 2 + a1 xi + a0 = yi
…
P(xn ) = an xn n + an-1 xn n-1 + … + a2 xn 2 + a1 xn + a0 = yn
Tem-se, assim, um sistema de n+1 equações a n+1 incógnitas, onde as incógnitas são, exatamente, os coeficientes (an , an –1 , ... , a1 , a0 ) do polinômio de grau n.
Matricialmente, podemos escrever:
Lembremos que as incógnitas são os ai ‘s, isto é, os coeficientes do polinômio de grau n.
A matriz X, no caso, é um dado, assim como o vetor Y é também dado, formados, ambos, pela tabela, dada, (xi , yi ).
Mostra-se que o determinante da matriz X vale:
det X = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )
É o chamado determinante de Vandermonde. Pode-se mostrar que a matriz de Vandermonde é mal-condicionada.
Entretanto, sendo xi ¹ xj para i ¹ j , tem-se que o determinante de Vandermonde será ¹ 0. Logo tem-se um sistema de n+1 equações com n+1 incógnitas com det ¹0.
Assim a solução é possível determinada, solução única.
Como conclusão, dados n+1 pontos (xi , yi ) , há um único polinômio de grau £ n que passa pelos n+1 pontos tabelados.
Observe que o grau do polinômio é ¹ n, podendo ser do grau 1, se todos os pontos estiverem em linha reta; pode ser do grau 2, se os pontos estiverem sobre uma parábola do segundo grau, etc...
Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br
