Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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Integral Dupla

No cálculo da Integral Dupla, a função Z=f(x,y) é definida numa região S, onde haverá a integração.

Os limites de variação de X e de Y deverão ser tais que cubram exatamente a região S.

Seja a região S definida pelos segmentos de reta:

y = x para  0 ≤ x ≤ 2

x = 2 para  0 ≤ y ≤ 6

x = 0 para  0 ≤ y ≤ 2

y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2

.....

Como se vê, para cada x constante entre 0 e 2, y varia de x a 2x+2.

Essa integral se resolve admitindo-se x constante e integrando-se

Obtem-se dessa maneira uma função de x, no caso I_x (x).

Calcula-se, em seguida, a integral de I_x (x) , variando-se x de 0 a 2, que é o valor da integral dupla.

Vamos resolver essa integral dupla por Simpson.

Comecemos pela integral em x, acima, que é uma integral simples:

Fazendo n_x = 2, isto é, h_x = (2-0)/2 = 1   tem-se, por Simpson:

onde I_x(x) é a integral abaixo:

que também pode ser calculada por Simpson, sendo:

onde todas essas integrais, em y, são integrais simples (não duplas) que podem ser calculadas por Simpson.

Vejamos:

Tomando-se n_y = 2, isto é, h_y = (2-0)/2 = 1, tem-se:

Cálculo de I_x (1):

Tomando-se n_y = 2, isto é, h_y = (4-1)/2 = 1,5, tem-se:

Cálculo de I_x (2)

Tomando-se n_y = 2, isto é, h_y = (6-2)/2 = 2, tem-se:

Com esses valores: I_x(0) , I_x(1) e I_x(2) calcula-se a integral dupla entrando-se na expressão:

Exemplo numérico:

Seja a região S definida pelos segmentos de reta:

y = x para  0 ≤ x ≤ 2

x = 2 para  0 ≤ y ≤ 6

x = 0 para  0 ≤ y ≤ 2

y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2

Calcular:

Seja I_x tal que:

A integral dupla será dada por:

Fazendo n_x = 4, isto é, h_x = (2-0)/4 = 0,5 , tem-se:

onde:

ou seja:

Fazendo n_y = 4, isto é, h_y = (2-0)/4 = 0,5

Fazendo n_y = 4, isto é, h_y = (3-0,5)/4 = 0,625

Fazendo n_y = 4, isto é, h_y = (4-1)/4 = 0,75

Fazendo n_y = 4, isto é, h_y = (5-1,5)/4 = 0,875

Fazendo n_y = 4, isto é, h_y = (6-2)/4 = 1

I = 29,333...

 Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br