Curso de Cálculo NuméricoProfessor Raymundo de Oliveira |
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No Método de Simpson, ou Método das Parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n par. Constrói-se a tabela dos pontos n+1 pontos (xi , yi ), onde x0 = a e xn = b.
Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (segundo grau). Acha-se a integral de cada parábola, admitindo-se que essa integral seja uma boa aproximação da integral da função original. Haverá, assim, n/2 parábolas. Somando-se as integrais dessas n/2 parábolas, tem-se uma aproximação da integral da função.
Tomemos os dois primeiros intervalos (x0 , x1) e (x1 , x2). Tem-se a tabela a seguir:
onde: x1 – x0 = h e x2 – x1 = h.
Vamos construir a parábola (do segundo grau) que passa pelos três pontos dados e, em seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X. Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x1 . Figura abaixo: ... Ficamos com a tabela:
Seja Y = A X2 + B X + C a parábola que passa pelos três pontos dados.
y0 = A (-h)2 + B (-h) + C = A.h2 – B.h + C y1 = A (02) + B(0) + C = C y2 = A (h)2 + B (h) + C = A.h2 + B.h + C
(equações 1)
I1 = 2Ah3/3 + 2Ch = (2Ah2 + 6C) h/3 = (2Ah2 + 2C + 4C ) h/3 Porém, das equações 1 acima, somado-se a primeira com a terceira, tem-se: y0 + y2 = 2Ah2 + 2C da segunda equação, tem-se: y1 = C Logo: I1 = (y0 + 4 y1 + y2 ) h/3 = h/3 (y0 + 4 y1 + y2 ) Esta é uma fórmula simples que permite calcular a integral da parábola que passa pelos 3 pontos
Se tomarmos esses 3 pontos e deslocarmos o eixo de y, paralelamente, a área sob a parábola não se altera, isto é, a integral da parábola não muda. Assim, dados três pontos
onde: x1 – x0 = h e x2 – x1 = h, tem-se:
Voltando-se à tabela total original, tem-se:
Esta é a fórmula de Simpson para cálculo de integral definida.
Como exemplo, vamos calcular a integral abaixo:
Tomemos n = 2. O intervalo h vale h = (1-0)/2 = 0,5
O erro vale portanto: e = 1,71828 – 1,71886 = -0,00058
Tomemos agora n = 4, com h = (1-0)/4 = 0,25
Erro = - 0,000037
De fato, pode-se demonstrar, veja bibliografia anexa, que o erro cometido quando se calcula uma integral pelo Método de Simpson é dada por: e = I – A = - (b-a) h4 fiv(ε)/180 , onde a < ε < b .
Sendo h = (b-a) / n , pode-se escrever o erro como sendo:
e = - (b-a)5 . fiv(ε) /(180 n4).
Calculemos, para n=2, o maior erro, em módulo, possível:
fiv (x) = ex logo fiv (ε) = exp(ε) < e1 = 2,72
|e| < (1-0)5.2,72/(180.24) =0,00095 , maior que 0,00058 que foi o erro encontrado. Para n = 4, tem-se: |e| < (1-0)5.2,72/(180.44) = 0,000059 , maior que 0,000037, erro encontrado. De novo, é bom frisar que o erro estimado, a cota superior do erro, é maior que o erro real, pois no cálculo do erro deve-se prever sempre o pior caso, de modo que o erro estimado fica maior que o erro real, em geral desconhecido. Observa-se, ainda, que o erro com n = 4 é aproximadamente o erro com n = 2, dividido por 16, pois o erro no método de Simpson é aproximadamente proporcional ao inverso de n4. Assim, dobrando-se n o erro cai 24 = 16 vezes, aproximadamente. Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br
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