No Método de Simpson, ou Método das Parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n par.

Constrói-se a tabela dos pontos n+1 pontos (x_i , y_i ), onde x₀ = a e x_n = b.

 

X	x0 = a	x1	x2	...	xn-1	xn = b
Y	y0	y1	y2	...	yn-1	yn

 

 

 

Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (segundo grau). Acha-se a integral de cada parábola, admitindo-se que essa integral seja uma boa aproximação da integral da função original. Haverá, assim, n/2 parábolas.

Somando-se as integrais dessas n/2 parábolas, tem-se uma aproximação da integral da função.

 

Tomemos os dois primeiros intervalos (x₀ , x₁) e (x₁ , x₂).

Tem-se a tabela a seguir:

 

 

 

X	x0	x1	x2
Y	y0	y1	y2

onde: x₁ – x₀ = h   e        x₂ – x₁ = h.

 

Vamos construir a parábola (do segundo grau) que passa pelos três pontos dados e, em seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X.

Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x₁ . Figura abaixo:

...

Ficamos com a tabela:

 

X	-h	0	+h
Y	y0	y1	y2

 

Seja Y = A X² + B X + C a parábola que passa pelos três pontos dados.

 

y₀ = A (-h)² + B (-h) + C = A.h² – B.h + C

y₁ = A (0²) + B(0) + C = C

y₂ = A (h)² + B (h) + C = A.h² + B.h + C

 

(equações 1)

 

Calculemos a integral da parábola de –h a +h.

 

 

I₁ = 2Ah³/3 + 2Ch = (2Ah² + 6C) h/3 = (2Ah² + 2C + 4C ) h/3

Porém, das equações 1 acima, somado-se a primeira com a terceira, tem-se:

y₀ + y₂ = 2Ah² + 2C      

da segunda equação, tem-se: y₁ = C

Logo: I₁ = (y₀ + 4 y₁ + y₂ ) h/3 = h/3 (y₀ + 4 y₁ + y₂ )

Esta é uma fórmula simples que permite calcular a integral da parábola que

passa pelos 3 pontos

X	-h	0	+h
Y	y0	y1	y2

 

Se tomarmos esses 3 pontos e deslocarmos o eixo de y, paralelamente, a área sob a parábola não se altera, isto é, a integral da parábola não muda.

Assim, dados três pontos

X	x0	x1	x2
Y	y0	y1	y2