Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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Método de Simpson

 


SIMP_02


 

No Método de Simpson, ou Método das Parábolas, divide-se o intervalo de integração (a,b) em n partes iguais, sendo n par.

Constrói-se a tabela dos pontos n+1 pontos (xi , yi ), onde x0 = a e xn = b.

 

X

x0 = a

x1

x2

...

xn-1

xn = b

Y

y0

y1

y2

...

yn-1

yn

 

 

 

Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (segundo grau). Acha-se a integral de cada parábola, admitindo-se que essa integral seja uma boa aproximação da integral da função original. Haverá, assim, n/2 parábolas.

Somando-se as integrais dessas n/2 parábolas, tem-se uma aproximação da integral da função.

 

Tomemos os dois primeiros intervalos (x0 , x1) e (x1 , x2).

Tem-se a tabela a seguir:

 

 

 

X

x0

x1

x2

Y

y0

y1

y2

onde: x1 – x0 = h   e        x2 – x1 = h.

 

Vamos construir a parábola (do segundo grau) que passa pelos três pontos dados e, em seguir, vamos integrar essa parábola, achando a área entre a curva e o eixo de X.

Claro que essa área não se altera se deslocamos o eixo de Y para a posição x = x1 . Figura abaixo:

...

Ficamos com a tabela:

 

X

-h

0

+h

Y

y0

y1

y2

 

Seja Y = A X2 + B X + C a parábola que passa pelos três pontos dados.

 

y0 = A (-h)2 + B (-h) + C = A.h2 – B.h + C

y1 = A (02) + B(0) + C = C

y2 = A (h)2 + B (h) + C = A.h2 + B.h + C

 

(equações 1)

 

SIMP_04
Calculemos a integral da parábola de –h a +h.

 

 

I1 = 2Ah3/3 + 2Ch = (2Ah2 + 6C) h/3 = (2Ah2 + 2C + 4C ) h/3

Porém, das equações 1 acima, somado-se a primeira com a terceira, tem-se:

y0 + y2 = 2Ah2 + 2C      

da segunda equação, tem-se: y1 = C

Logo: I1 = (y0 + 4 y1 + y2 ) h/3 = h/3 (y0 + 4 y1 + y2 )

Esta é uma fórmula simples que permite calcular a integral da parábola que


passa pelos 3 pontos

X

-h

0

+h

Y

y0

y1

y2


SIMP_06

 

Se tomarmos esses 3 pontos e deslocarmos o eixo de y, paralelamente, a área sob a parábola não se altera, isto é, a integral da parábola não muda.


Assim, dados três pontos

X

x0

x1

x2

Y

y0

y1

y2


onde: x1 – x0 = h   e        x2 – x1 = h, tem-se:

 

SIMP_08

 

Voltando-se à tabela total original, tem-se:

X

x0 = a

x1

x2

...

xn-1

xn = b

Y

y0

y1

y2

...

yn-1

yn

SIMP_10

SIMP_12

SIMP_14

 

 

Esta é a fórmula de Simpson para cálculo de integral definida.

 

Como exemplo, vamos calcular a integral abaixo:

 

SIMP_16

 

 

 

Tomemos n = 2. O intervalo h vale h = (1-0)/2 = 0,5

 

X

0,00000

0,50000

1,00000

Y = ex

1,00000

1,64872

2,71828

SIMP_18

 

O erro vale portanto: e = 1,71828 – 1,71886 = -0,00058

 

Tomemos agora n = 4, com h = (1-0)/4 = 0,25

 

X

0,000000

0,250000

0,500000

0,750000

1,000000

Y

1,000000

1,284025

1,648721

2,117000

2,718282

 

SIMP_20

 

 

Erro = - 0,000037

 

De fato, pode-se demonstrar, veja bibliografia anexa, que o erro cometido quando se calcula uma integral pelo Método de Simpson é dada por:

e = I – A = - (b-a) h4 fiv(ε)/180 , onde   a < ε < b .

 

Sendo h = (b-a) / n , pode-se escrever o erro como sendo:

 

e = - (b-a)5 . fiv(ε) /(180 n4).

 

Calculemos, para n=2, o maior erro, em módulo, possível:

 

fiv (x) = ex logo fiv (ε) = exp(ε) < e1 = 2,72

 

|e|  < (1-0)5.2,72/(180.24) =0,00095 , maior que 0,00058 que foi o erro encontrado.

Para n = 4, tem-se:

|e|  < (1-0)5.2,72/(180.44) = 0,000059 , maior que 0,000037, erro encontrado.

De novo, é bom frisar que o erro estimado, a cota superior do erro, é maior que o erro real, pois no cálculo do erro deve-se prever sempre o pior caso, de modo que o erro estimado fica maior que o erro real, em geral desconhecido.

Observa-se, ainda, que o erro com n = 4 é aproximadamente o erro com n = 2, dividido por 16, pois o erro no método de Simpson é aproximadamente proporcional ao inverso de n4. Assim, dobrando-se n o erro cai 24 = 16 vezes, aproximadamente.

 Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br

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