Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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Interpolação Polinomial de Lagrange

 

Seja a tabela abaixo:

 

X

x0

x1

x2

x3

Y

y0

y1

y2

y3

 

 

Deseja-se passar um polinômio de grau £ 3, pelos 4 pontos tabelados.

O método de Lagrange constrói 4 polinômios auxiliares do terceiro grau:

L0(x) , L1(x) , L2(x) e L3(x), onde:

L0(x) vale zero nos pontos x1 , x2 , x3 e vale 1 no ponto x0 .

L1(x) vale zero nos pontos x0 , x2 , x3 e vale 1 no ponto x1 .

L2(x) vale zero nos pontos x0 , x1 , x3 e vale 1 no ponto x2 .

L3(x) vale zero nos pontos x0 , x1 , x2 e vale 1 no ponto x3 .

Como serão esses quatro polinômios ?

Vejamos:

 

Lag_02

Lag_04

 

 

Lag_06

Lag_8

 

 

Repare que em L0 , no numerador aparece (x-x1)(x-x2)(x-x3), logo, para

x = x1,  x = x2 e x = x3 , o polinômio vale zero.

Para x = x0 , o numerador é igual ao denominador e o polinômio vale 1.

Afirmação semelhante pode ser feita para L1 , L2 e L3 .

Assim, fica imediata a construção de L0 , L1 , L2 e L3.

O polinômio interpolante (de Lagrange)  será:

P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x)

pois:

P(x0) = y0 L0(x0) + y1 L1(x0) + y2 L2(x0) + y3 L3(x0) = y0

pois: L0(x0) = 1     L1(x0) = 0    L2(x0) = 0 e L3(x0) = 0 , por construção.

Da mesma forma, P(x1) = y1 , P(x2) = y2 e P(x3) = y3 .

Logo o polinômio passa pelos pontos tabelados, sendo o polinômio interpolante, pois a solução é única; isto é, há um único polinômio de grau menor ou igual a três que passa nos quatro pontos tabelados.

O polinômio P(x) sendo formado pela soma de quatro polinômios do terceiro grau será necessariamente de grau menor ou igual a três.

Um exemplo:

X

1

2

4

7

Y

3

6

8

12

 

 

Lag10

Lag12

 

Lag14

 

 

Lag_16

 

Assim, P(x) = 3 L0(x) + 6 L1(x) + 8 L2(x) + 12 L3(x)

 

Para calcular, por exemplo, P(3), faz-se :

 

 

P(3) = 3.(3-2)(3-4)(3-7)/(-18) + 6(3-1)(3-4)(3-7)/10 +

+ 8(3-1)(3-2)(3-7)/(-18) + 12(3-1)(3-2)(3-4)/90

 

P(3) = - 12/18 + 48/10 + 64/18 – 24/90

 

P(3) = 7,422

 

 

 

 Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br

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