Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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5 - Interpolação Polinomial

 

Seja a tabela abaixo:

 

x0

x1

x2

...

xi

...

xn

y0

y1

y2

...

yi

...

yn

 

formada por n+1 pontos ( xi , yi ).

 

Trata-se de passar por esses n+1 pontos um polinômio de grau n.

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

Para tanto, calculam-se os n+1 coeficientes do polinômio P(x), isto é:

an, an-1, ..., a1, a0 , de modo que o polinômio passe pelos n+1 pontos tabelados.

Assim: P(x0 ) = y0 , P(x1 ) = y1 , ... , P(xn ) = yn .

P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0 n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0

P(x1 ) = an x1 n + an-1 x1 n-1 + … + a2 x1 2 + a1 x1 + a0 = y1

...

P(xi ) = an xi n + an-1 xi n-1 + … + a2 xi 2 + a1 xi + a0 = yi 

P(xn ) = an xn n + an-1 xn n-1 + … + a2 xn 2 + a1 xn + a0 = yn

Tem-se, assim, um sistema de n+1 equações a n+1 incógnitas, onde as incógnitas são, exatamente, os coeficientes  (an , an –1 , ... , a1 , a0 ) do polinômio de grau n.

Matricialmente, podemos escrever:


Lembremos que as incógnitas são os ai ‘s, isto é, os coeficientes do polinômio de grau n.

A matriz X, no caso, é um dado, assim como o vetor Y é também dado, formados, ambos, pela tabela, dada, (xi , yi ).

Mostra-se que o determinante da matriz X vale:

det X = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )

É o chamado determinante de Vandermonde. Pode-se mostrar que a matriz de Vandermonde é mal-condicionada.

Entretanto, sendo xi ¹ xj para i ¹ j , tem-se que o determinante de Vandermonde será ¹ 0. Logo tem-se um sistema de n+1 equações com n+1 incógnitas com det ¹0.

Assim a solução é possível determinada, solução única.

Como conclusão, dados n+1 pontos (xi , yi ) , há um único polinômio de grau £ n que passa pelos n+1 pontos tabelados.

Observe que o grau do polinômio é ¹ n, podendo ser do grau 1, se todos os pontos estiverem em linha reta; pode ser do grau 2, se os pontos estiverem sobre uma parábola do segundo grau, etc...

 Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br

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