Curso de Cálculo Numérico

Professor Raymundo de Oliveira

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Integral Dupla

INT_D_28
No cálculo da Integral Dupla, a função Z=f(x,y) é definida numa região S, onde haverá a integração.

Os limites de variação de X e de Y deverão ser tais que cubram exatamente a região S.

Seja a região S definida pelos segmentos de reta:

y = x para  0 ≤ x ≤ 2

x = 2 para  0 ≤ y ≤ 6

x = 0 para  0 ≤ y ≤ 2

y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2

 

.....

INT_D_30

Como se vê, para cada x constante entre 0 e 2, y varia de x a 2x+2.

INT_D_32
Essa integral se resolve admitindo-se x constante e integrando-se

Obtem-se dessa maneira uma função de x, no caso Ix (x).

 

Calcula-se, em seguida, a integral de Ix (x) , variando-se x de 0 a 2, que é o valor da integral dupla.

INT_D_34

 

Vamos resolver essa integral dupla por Simpson.

Comecemos pela integral em x, acima, que é uma integral simples:

 

INT_D_341

 

Fazendo nx = 2, isto é, hx = (2-0)/2 = 1   tem-se, por Simpson:

INT_D_37

 

onde Ix(x) é a integral abaixo:

 

INT_D_321

que também pode ser calculada por Simpson, sendo:

 

INT_D_39

 

 

 

INT_D_41

 

INT_D_43

 

 

onde todas essas integrais, em y, são integrais simples (não duplas) que podem ser calculadas por Simpson.

 

Vejamos:

 

INT_D_45

 

Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (2-0)/2 = 1, tem-se:

INT_D_47

 

Cálculo de Ix (1):

 

 

INT_D_49

 

Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (4-1)/2 = 1,5, tem-se:

 

INT_D_51

 

Cálculo de Ix (2)

 

INT_D_53

 

 

Tomando-se ny = 2, isto é, hy = (6-2)/2 = 2, tem-se:

 

INT_D_55

 

 

Com esses valores: Ix(0) , Ix(1) e Ix(2) calcula-se a integral dupla entrando-se na expressão:

 

 

 

 

INT_D_371

Exemplo numérico:

Seja a região S definida pelos segmentos de reta:

y = x para  0 ≤ x ≤ 2

x = 2 para  0 ≤ y ≤ 6

x = 0 para  0 ≤ y ≤ 2

y = 2x + 2 para 0 ≤ x ≤ 2

 

Calcular:

INT_D_57

 

Seja Ix tal que:

 

INT_D_59

A integral dupla será dada por:

INT_D_342

 

Fazendo nx = 4, isto é, hx = (2-0)/4 = 0,5 , tem-se:

 

INT_D_61

 

onde:

 

 

ou seja:

 

 

INT_D_63

 

 

 

 

INT_D_65

Fazendo ny = 4, isto é, hy = (2-0)/4 = 0,5

INT_D_67

 

INT_D_69

 

Fazendo ny = 4, isto é, hy = (3-0,5)/4 = 0,625

 

INT_D_71

 

INT_D_73

Fazendo ny = 4, isto é, hy = (4-1)/4 = 0,75

 

INT_D_75

 

INT_D_77

 

 

 

Fazendo ny = 4, isto é, hy = (5-1,5)/4 = 0,875

 

 

 

INT_D_79

 

INT_D_81

 

 

Fazendo ny = 4, isto é, hy = (6-2)/4 = 1

 

 

INT_D_83

 

INT_D_85

 

 

INT_D_87

 

I = 29,333...

 

 Se você tiver dúvidas sobre a matéria, meu e-mail é: raymundo.oliveira@terra.com.br

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